La distribución exponencial

Puede ser usada para responder a:

¿Cuanto tiempo debemos esperar antes de que entre un cliente en la tienda?
¿Cuanto tiempo pasará antes de que la centralita reciba una nueva llamada?.

El tiempo de espera es la respuesta común a esas preguntas

Todo fenómeno que implique tiempo de espera desconocido puede ser modelado mediante la distribución exponencial siempre que la probabilidad de ocurrencia durante el intervalo sea proporcional a la longitud del intervalo.

La función de probabilidad (PDF - Probability Density Function) de una distribución exponencial es

f (x; λ) = λ e - λ x

$f(x;\lambda)= \lambda e^{- \lambda x}$

Donde $x$ es exactamente el tiempo tiempo de espera, por ejemplo, 2 años o 10 segundos.

El parámetro $\lambda$ se llama tasa o régimen (en. rate) en las mismas unidades de tiempo que el tiempo de espera.

La tasa $\lambda$ es la inversa de la duración esperada $\mu$ .

E [X] = μ = 1 λ

$E[X]=\mu=\frac{1}{\lambda}$

Por ejemplo, si la tasa $\lambda$ es de cinco eventos por minuto, entonces la duración esperada de cada evento será de $\mu=\frac{1}{5}=0.2$ minutos por evento.

Observamos que la duración esperada (o esperanza o media) se mide siempre en tiempo. La tasa o ritmo se mide siempre en eventos.

La función de probabilidad acumulada es:

P (X \leq x) = 1 - e - λ x

$P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}$
Por ejemplo, la probabilidad de recibir una llamada antes de 5 minutos es

P (X \leq 5) = 1 - e - 5 λ

$P(X\le 5)=1-e^{-5 \lambda}$

Su complementario es

P (X > x) = 1 - P (X \leq x) = 1 - (1 - e - λ x) = e - λ x

$P(X\gt x) = 1-P(X\le x)=1-(1-e^{-\lambda x})=e^{-\lambda x}$

Es decir, la probabilidad de recibir una llamada después de cinco minutos es

P (X > 5) = e - 5 λ

$P(X\gt 5)=e^{-5 \lambda}$

Como se ha dicho, el valor esperado es

E [X] = μ = 1 λ

$E[X]=\mu=\frac{1}{\lambda}$
y la varianza

V [X] = μ = 1 λ 2

$V[X]=\mu=\frac{1}{\lambda^2}$

Ejemplo 1: Asumamos que en una cabina telefónica las llamadas duran una media de $\mu=10$ minutos. Si alguien llega al teléfono justo antes que usted, calcular la probabilidad de tener que esperar:
La tasa será de
$λ = 1 μ = 1 10 = 1 llamada cada 10 minutos = 0.1 llamadas minuto$ $\lambda=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{10}=\frac{\text{1 llamada}}{\text{cada 10 minutos}}=0.1\frac{\text{llamadas}}{\text{minuto}}$
a) Menos de cinco minutos.
$P (X \leq 5) = 1 - e - 5 1 10 = 0.39$ $P(X\le 5)=1-e^{-5 \frac{1}{10}}=0.39$
b) Más de cinco minutos.
$P (X > 5) = e - 5 1 10 = 0.61$ $P(X\gt 5)=e^{-5 \frac{1}{10}}=0.61$
c) Entre 5 y 10 minutos.
$P (5 \leq X \leq 10) = 1 - [P (X \leq 5) + P (X \geq 10)] = 0.23$ $P(5 \le X \le 10)=1-\left[ P(X\le 5) + P(X\ge 10)\right]=0.23$
También podríamos haber integrado la PDF entre 5 y 10.
$P (5 \leq X \leq 10) = \int 105 1 10 e - 1 10 x d x - = e - x 10 ∣ 105 = 0.23$ $P(5 \le X \le 10)=\int_{5}^{10}\frac{1}{10}e^{-\frac{1}{10} x} dx-=e^{-\frac{x}{10}}\mid_{5}^{10}=0.23$

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